Аналитический расчет НИ представляет собой довольно сложную задача и в полной мере может проводиться с помощью ЭВМ.

Для каскадов на БТ возможна аналитическая оценка НИ для случая малых нелинейностей (U вх одного порядка с φ T =25.6 мВ) .

Обычно уровень НИ характеризуется коэффициентом гармоник K г . Суммарный коэффициент гармоник равен

где K г 2 и K г 3 соответственно коэффициенты гармоник по второй и третьей гармоническим составляющим (составляющими более высокого порядка можно пренебречь ввиду их относительной малости).

Коэффициенты гармоник K г 2 и K г 3 , независимо от способа включения БТ, определяются из следующих соотношений:

где B - фактор связи (петлевое усиление).

Данные выражения учитывают только нелинейность эмиттерного перехода и получены на основе разложения в ряд Тейлора функции тока эмиттера I э =I э 0 exp(U вх /φ T ).

Фактор связи зависит от способа включения транзистора и вида обратной связи. Для каскада с ОЭ и ПООСТ имеем:

где R г - сопротивление источника сигнала (или R вых предыдущего каскада); R ос R ос =0).

Для каскада с ОЭ и ∥ООСН

где R экв =R к ∥R н , R ос

Для каскада с ОК

где R экв =R э ∥R н (см. подраздел 2.8).

Для каскада с ОБ

Коэффициенты гармоник K г 2 и K г 3 , независимо от способа включения ПТ, определяются из следующих соотношений:

где A - коэффициент, равный второму члену разложения выражения для нелинейной крутизны в ряд Тейлора, равный

A =I си /U ² отс ,

где I си и U отс см. рисунок 2.33.

Фактор связи B зависит от способа включения транзистора и вида ООС. Для каскада с ОИ и ПООСТ имеем:

B = S 0 (R ос + r и ),

где R ос - сопротивление ПООСТ (см. подраздел 3.2, в случае отсутствия ПООСТ R ос =0).

Для каскада с ОИ и ∥ООСН имеем:

B = S 0 R г R экв /R ос ,

где R экв =R с ∥R н , R ос - сопротивление ∥ООСН (см. подраздел 3.4).

Для каскада с ОС

B = S 0 (R экв + r и ),

где R экв =R с ∥R н (см. подраздел 2.11).

Для каскада с ОЗ

B = S 0 ((R г ∥R и ) + r и ).

В приведенных выше выражениях r и - сопротивление тела полупроводника в цепи истока, r и ≈1/S си , где S си - см. подраздел 2.10, для маломощных ПТ r и =(10…200) Ом; R и - см. рисунок 2.38.

Приведенные соотношения для оценки K г дают хороший результат в случае малых нелинейностей, в режиме больших нелинейностей следует воспользоваться известными машинными методами , или обратиться к графическим методам оценки НИ .

8.2. Расчет устойчивости УУ

Оценку устойчивости УУ, представленного эквивалентным четырехполюсником, описываемым Y-параметрами, удобно проводить с помощью определения инвариантного коэффициента устойчивости :

При k><1 - потенциально неустойчив, т.е. существуют такие сочетания полных проводимостей нагрузки и источника сигнала, при которых возможно возникновение генерации.

Устойчивость усилителя с учетом проводимости нагрузки и источника сигнала определяется следующим соотношением:

При k>1 усилитель безусловно устойчив, при k<1 - неустойчив, k=1 соответствует границе устойчивости.

Эквивалентные Y-параметры усилителя определяются, согласно методике подраздела 2.3, в заданных точках диапазона рабочих частот. Использование инвариантного коэффициента устойчивости особенно удобно при машинном анализе УУ. Другие методы оценки устойчивости описаны в .

8.3. Расчет шумовых характеристик УУ

Шумы в УУ в основном определяются шумами активных сопротивлений и усилительных элементов, расположенных во входных каскадах. Наибольший вклад в мощность шума, создаваемого усилительным каскадом, вносит усилительный элемент. Наличие собственных источников шумов ограничивает возможность усиления слабых сигналов.

В зависимости от природы возникновения, собственные шумы транзистора подразделяются на тепловые, дробовые, шумы токораспределения, избыточные и т.д.

Тепловые шумы обусловлены беспорядочными перемещениями свободных носителей заряда в проводниках и полупроводниках, дробовые - дискретностью заряда носителей (электронов и "дырок") и случайным характером инжекции и экстракции их через p-n-переходы. Шум токораспределения вызывается флуктуациями распределения тока эмиттера на токи коллектора и базы. Все вышеперечисленные виды шумов имеют равномерный спектр.

Природа избыточных шумов до конца еще не выяснена. Обычно их связывают с флуктуациями состояния поверхности полупроводников. Спектральная плотность этих шумов обратно пропорциональна частоте, что послужило поводом для названия их шумами типа 1/f. Еще их называют фликкер-шумами, шумами мерцания и контактными шумами. Шумы типа 1/f сильно возрастают при дефектах в кристаллической решетке полупроводника.

Наиболее весомый вклад в мощность шумов усилительных элементов вносят тепловые шумы.

Шумы активных элементов можно представить в виде источника напряжения (рисунок 8.1а) или источника тока (рисунок 8.1б).

Рисунок 8.1. Эквивалентные схемы активного шумового сопротивления

Соответствующие значения ЭДС и тока этих источников следующие (см. подраздел 2.2):

где Δf - полоса рабочих частот; k =1,38·10 -23 - постоянная Больцмана; T - температура в градусах Кельвина; R ш - шумовое сопротивление, G ш - шумовая проводимость, G ш =R ш -1 .

Для стандартной температуры Т=290°K эти формулы можно упростить:

Спектральные плотности шумов по напряжению и току составляют :

где , - дифференциалы от среднеквадратичных напряжений и токов шумов как случайных функций времени t, действующих в полосе пропускания df.

Любой активный элемент можно представить шумящим четырехполюсником (рисунок 8.2) и по данным формулам рассчитать его шумовые характеристики.

Рисунок 8.2. Шумящий четырехполюсник

В приведены выражения для шумовых параметров БТ и ПТ нормированных спектральных плотностей шумов по напряжению R ш =F RU /4kT , по току G ш =F RI /4kT и взаимной спектральной плотности F ш , представляющих собой соответственно шумовое сопротивление, шумовую проводимость и взаимную спектральную плотность шумов.

Для БТ, включенного по схеме с ОЭ:

R ш = r б + 0,2I б r б 2 + 0,02I к S 0 -2 ,

G ш = 0,2I б + 0,02I к g 2 S 0 -2 ,

F ш = 1 + 0,02I б r б + 0,02I к gS 0 -2 ,

где I б и I к в миллиамперах, g и S 0 в миллисименсах. При учете фликкер-шумов для частот f≥10Гц в данных выражениях следует принять:

I" б = (1 + 500/f )I б ,

I" к = (1 + 500/f )I к .

Для ПТ, включенного с ОИ:

R ш = 0,75/S 0 ,

G ш = R ш ω ²C² зи = 40R ш f ²C ² зи,

F ш = 1 + ωC зи R ш = 1 + 6,28·C зи R ш .

Данные формулы применимы и для других схем включения транзисторов.

Полагая равномерным спектральные плотности шумов, согласно можно получить выражение для коэффициента шума каскада:

F = (R г + R ш + G ш R г + 2F ш R г )/R г .

Исследуя это выражение на экстремум, определяем оптимальное сопротивление источника сигнала R г opt , при котором коэффициент шума каскада F минимален:

При этом в большинстве случаев оказывается, что R г opt не совпадает с R г , оптимальным с точки зрения получения необходимой f в каскада (R г opt >R г ). Выходом из данной ситуации является включение между первым и вторым каскадами цепи противошумовой коррекции (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3. Простая противошумовая коррекция

Введением противошумовой коррекции добиваются повышения коэффициента передачи каскадов в области ВЧ (путем внесения корректирующей цепью затухания на НЧ и СЧ), компенсируя тем самым спад усиления на ВЧ за счет высокоомного R г opt .

Приближенно параметры противошумовой коррекции можно определить из равенства ее постоянной времени RC постоянной времени τ в некорректированного каскада.

Расчет шумов каскадно соединенных четырехполюсников (многокаскадного усилителя) обычно сводится к расчету коэффициента шума входной цепи и входного каскада. Первый каскад в таком усилителе работает в малошумящем режиме, а второй и другие каскады в обычном режиме.

Расчет шумов в общем случае представляет собой сложную задачу, решаемую с помощью ЭВМ. Для ряда частных случаев шумовые параметры могут бить рассчитаны по соотношениям, приведенным в .

8.4. Анализ чувствительности

Чувствительностью называется реакция различных устройств на изменение параметров ее компонент.

Коэффициент чувствительности (функция чувствительности или просто чувствительность ) представляет собой количественную оценку изменения параметров устройства (в т.ч. и АЭУ) при заданном изменении параметров его компонент.

Необходимость расчета функции чувствительности возникает при необходимости учета влияния на характеристики АЭУ факторов окружающей среды (температуры, радиации и т.д.), при расчете требуемых допусков на параметры компонент, при определении процента выхода ИМС, в задачах оптимизации, моделирования и т.д.

Функция чувствительности S i параметра устройства y к изменению параметра компонента x i определяется как частная производная

Данное выражение получено на основе разложения в ряд Тейлора функции нескольких переменных , где

Пренебрегая частными производными второго и более порядка, получаем связь функции чувствительности и отклонения параметра :

Существуют разновидности функции чувствительности:

◆ абсолютная чувствительность , абсолютное отклонение при этом равно ;

◆ относительная чувствительность , относительное отклонение равно ;

◆ полуотносительные чувствительности , .

Выбор вида функции чувствительности определяется видом решаемой задачи, например, для комплексного коэффициента передачи относительная чувствительность равна относительной чувствительности модуля (действительная часть) и полуотносительной чувствительности фазы (мнимая часть):

Для простых схем вычисление функции чувствительности может осуществляться прямым дифференцированием схемной функции, представленной в аналитическом виде. Для сложных схем, получение аналитического выражения схемной функции представляет собой сложную задачу, возможно применение прямого расчета функции чувствительности через приращения. В этом случае необходимо проводить n анализов схемы, что для сложных схем весьма нерационально.

Существует косвенный метод расчета чувствительности по передаточным функциям, предложенный Быховским . Согласно этому методу, функция чувствительности, например, прямого коэффициента передачи равна произведению функций передачи с входа схемы до элемента, относительно которого ищется чувствительность, и передаточной функции "элемент - выход схемы" (рисунок 8.4а).

Рисунок 8.4. Косвенный метод расчёта функций чувствительности

Так как расчет функции чувствительности сводится к расчету передаточных функций, то для их нахождения возможно применение, например, обобщенного метода узловых потенциалов. Косвенный метод расчета по передаточным функциям позволяет находить функции чувствительности более высоких порядков. На рисунке 8.4б проиллюстрировано нахождение функции чувствительности второго порядка. В общем же существует n! путей передачи сигнала, каждый из которых содержит n+1 сомножителей.

Ниже описывается метод расчета функции чувствительности, сочетающий прямой метод дифференцирования и косвенный по передаточным функциям, позволяющий за один анализ находить чувствительность к n элементам схемы . Рассмотрим данный способ на примерах получения выражений для абсолютной чувствительности первого порядка S-параметров электронных схем, описанных матрицей проводимости [Y].

В матричном представлении характеристики электронных схем, в том числе и параметры рассеяния [S], определяются в виде отношений алгебраических дополнений матрицы [Y] (см. подраздел 7.2). Изменяемый параметр входит при этом в некоторые элементы алгебраических дополнений. Определение функции чувствительности сводится в этом случае к нахождению производных от отношений алгебраических дополнений (или алгебраических дополнений и определителя) по элементам, в которых содержится изменяемый параметр. В случае, когда изменяемый параметр входит в элементы дополнений определителя функционально, чувствительность определяется как сложная производная.

Для определения производных алгебраических дополнений по изменяемым параметрам входящих в них элементов воспользуемся теоремой, утверждающей, что производная определителя по какому-либо элементу равна алгебраическому дополнению этого элемента. Доказательство теоремы основано на разложении определителя по Лапласу

Общее выражение для S-параметров через алгебраические дополнения имеет вид (см. подраздел 7.2)

S ij = k ij Δ ji /Δ – δ ij .

Определим функции чувствительности параметров рассеяния к пассивному двухполюснику y o включенному между произвольными узлами k и l (см. рисунок 8.5а)

Рисунок 8.5. Расчёт чувствительности S-параметров

S S ij y 0 = dS ij /dy 0 = k ij (Δ ji (k +l )(k +l ) Δ – Δ (k +l )(k +l ) Δ ji )/Δ² = –k ij Δ j (k +l ) Δ (k +l )i /Δ² = –k ij [(Δ jk – Δ jl )(Δ ki – Δ li )]/Δ²

При получении данного и последующих выражений используются следующие матричные соотношения :

Δ (i+j )(k+l ) = Δ i (k+l ) + Δ j (k+l ) = (Δ ik – Δ il ) + (Δ jk – Δ jl ),

Δ ij Δ kl – Δ il Δ kl = ΔΔ ij,kl .

Для электронных схем, содержащих БТ, моделируемые ИТУТ (см. подраздел 2.4.1), определим чувствительность S-параметров к проводимости управляющей ветви g э =1/r э и параметру управляемого источника a включенных соответственно между узлами k, l, и p, q (рисунок 8.5б):

S S ij gэ = dS ij /dg э = k ij [(Δ ji (k +l )(k +l ) Δ + αΔ ij (k +l )(p +q ))Δ – (Δ (k +l )(k +l ) Δ+αΔ (k +l )(p +q ) Δ ij ])/Δ² = –k ij Δ (k +l )i (Δ j (k +l ) + αΔ j (p +q ))/Δ² = –k ij (Δ ki – Δ li )[(Δ jk – Δ jl )+ α(Δ jp - Δ jq )/Δ²,

S S ij α = dS ij /d α = k ij (Δ ji (k +l )(p +q ) Δ – Δ (k +l )(p +q ) Δ ji )/Δ² = –k ij Δ j (p +q ) Δ (k +l )i /Δ² = –k ij [(Δ jp – Δ jq )(Δ ki – Δ li )]/Δ².

Если электронная схема содержит ПТ, моделируемые ИТУН (см. подраздел 2.4.1), то чувствительность параметров рассеяния к крутизне S, включенной между узлами p, q при узлах управления k, l (рисунок 8.5в), равна

S S ij S = dS ij /dS = k ij (Δ ji (k +l )(p +q ) Δ – Δ (k +l )(p +q ) Δ ji )/Δ² = –k ij Δ j (k +l ) Δ (p +q )i /Δ² = –k ij [(Δ jk – Δ jl )(Δ pi – Δ qi )]/Δ².

Чувствительность параметров рассеяния к любому Y-параметру подсхемы (рисунок 8.5г), например, y kl , будет равна

S S ij ykl = dS ij /dy kl = k ij (Δ ji,kl Δ – Δ kl Δ ij )/Δ² = –k ij Δ jl Δ ki /Δ².

При известной чувствительности y kl к параметру элемента подсхемы x (см. рисунок 8.5г) чувствительность S-параметров полной схемы к этому параметру, в соответствии с понятием сложной производной, выразится как

S S ij x = (dS ij /dy kl )(dy kl /dx ) = S S ij ykl ·S y kl x .

Последнее выражение указывает на возможность применения метода подсхем при анализе чувствительности сложных электронных схем.

Зная связь параметров рассеяния с вторичными параметрами электронных схем (K U , Z вх , Z вых и др.) и чувствительность параметров рассеяния к изменению элементов схемы, возможно нахождение функций чувствительности вторичных параметров к изменению этих элементов. Например, для коэффициента передачи по напряжению с i-го на j-й узел K ij =S ji /(1+S 11) чувствительность к изменению параметра x (полагая, что S ij =f (x ) и S ii =φ(x )) получаем

S K ij x = dK ij /dx = [S S ij x (1 + S ii ) – S S ii x S ij ]/(1 + S ii )².

Аналогично для Z вх (вых ) (Z ii (jj )) имеем

Z ii (jj ) = Z г (н ) ·(1 + S ii (jj ))/(1 – S ii (jj ));

S Z i i (jj ) x = dZ ii (jj ) /dx = –2Z г (н ) ·S S i i (jj ) x ·S ii (jj ) /(1 – S ii (jj ))².

Данный способ столь же эффективно может быть использован при определении чувствительности более высоких порядков для всевозможных характеристик электронных схем. Реализация полученных таким образом алгоритмов расчета чувствительности сводится к вычислению и перебору соответствующих алгебраических дополнений, что хорошо сочетается с нахождением других малосигнальных характеристик электронных схем.

8.5. Машинные методы анализа АЭУ

В подразделе 2.3 приведена основная идея обобщенного метода узловых потенциалов, на основе которого были получены большинство соотношений для эскизного расчета усилительных каскадов. Однако наряду с несомненными достоинствами данного метода (простота программирования, малая размерность получаемой матрицы проводимости Y , n*n, где n- количество узлов схемы без опорного), данный метод имеет ряд существенных недостатков. В первую очередь следует отметить невозможность представления в виде проводимости некоторых идеальных моделей электронных схем (короткозамкнутых ветвей, источников напряжения, зависимых источников, управляемых током и т.д.). Кроме того, представление индуктивности проводимостью неудобно при временном анализе схем, что связано с преобразованием Лапласа (оператор Лапласа p должен быть в числителе для того, чтобы система алгебраических уравнений и полученная в результате преобразования система дифференциальных уравнений имела одинаковые коэффициенты).

В настоящее время наибольшее распространение получили топологические методы формирования системы уравнений электрической цепи, наиболее общим из которых является табличный .

В этом методе все уравнения, описывающие цепь, включаются в общую систему уравнений, содержащую уравнения Кирхгофа для токов, напряжений и компонентные уравнения.

Уравнения Кирхгофа для токов можно представить в виде

AI в = 0,

где A - матрица инценденции , описывающая топологию цепи, I в - вектор тока ветвей.

Уравнения Кирхгофа для напряжений имеют вид

V в – A t V п = 0,

где V в и V п - соответственно, вектора напряжений ветвей и узловых потенциалов, A t - транспонированная матрица инценденции A .

В общем случае уравнения, описывающие элементы цепи, можно представить в следующей форме:

Y в B в + Z в I в = W в ,

где Y в и Z в - соответственно, квазидиагональные матрицы проводимости и сопротивления ветвей, W в - вектор, куда входят независимые источники напряжения и тока, а также начальные напряжения и токи на конденсаторах и индуктивностях.

Запишем приведенные уравнения в следующей последовательности:

V в – A t V п = 0;

Y в B в + Z в I в = W в ;

AI в = 0;

и представим в матричной форме

или в общем виде

Табличный метод имеет главным образом теоретическое значение, поскольку наряду с основным достоинством, выражающимся в том, что возможно нахождение всех токов и напряжений ветвей и узловых потенциалов, имеет ряд существенных недостатков. В первую очередь следует отметить избыточность метода, приводящую к большой размерности матрицы T . Далее следует отметить, что многие идеальные управляемые источники приводят к появлению лишних переменных. Например, входной ток управляемых напряжением источников тока и напряжения, а также входное напряжение управляемых током источников тока и напряжения равны нулю, но в данном методе они рассматриваются как переменные.

В практическом плане чаще всего используется модификация табличного метода - модифицированный узловой метод с проверкой .

Идея данного метода заключается в разделении элементов на группы; одна группа сформирована из элементов, которые описываются помощью проводимостей, для элементов второй группы такое описание невозможно. Поскольку через токи ветвей первой группы можно выразить напряжения ветвей, а напряжения ветвей через узловые потенциалы, то можно исключить из табличных уравнений все напряжения ветвей, а для элементов первой группы еще и токи ветвей. При введении дополнительных уравнений для токов в ветвях с элементами второй группы производится проверка на наличие заранее известных (нулевых) переменных. В результате такого преобразования получим уравнения модифицированного узлового метода с проверкой

или в общем виде

T m X=W ,

где n - размерность матрицы проводимости Y n 1 элементов первой группы (n - число узлов схемы без нулевого); m - число дополнительных уравнений для элементов второй группы; J n - вектор независимых источников тока; I 2 - вектор токов ветвей элементов второй группы; W 2 - вектор, куда входят независимые источники напряжения, а также начальные напряжения и токи на конденсаторах и индуктивностях, представленных элементами второй группы.

Для упрощения программирования обычно представляют матрицу коэффициентов системы уравнений модифицированного узлового метода T m в виде суммы двух матриц размерностью (n+m)*(n+m)

T m = G + pC .

В матрицу G вносят все активные проводимости и коэффициенты, соответствующие частотно-независимым элементам, а в матрицу C - все частотнозависимые элементы, причем индуктивности обычно представляют элементом второй группы, т.е. сопротивлением. Далее находят решение данной системы уравнений, используя алгоритмы Гаусса-Жордана либо L/U-разложения .

При частотном анализе электронных схем оператор p заменяется на jω , организуется цикл по частоте, внутри которого для каждой частотной точки формируется система уравнений, которая решается относительно интересующих напряжений и токов.

При временном анализе линейных электронных схем возможно непосредственно использовать модифицированную узловую форму уравнений

(G + pC )X = W .

После перехода во временную область получим

Gx + Cx" = W ,

Cx" = W – Gx .

Решение полученной системы дифференциальных уравнений находится путем численного интегрирования. Одними из эффективных методов численного интегрирования являются методы, опирающиеся на линейные многошаговые формулы , к простейшим из которых относятся формулы Эйлера (прямая и обратная) и формула трапеций.

Разбив временной интервал на конечное число отрезков h и положив t n +1 =t n +h , для каждого момента времени t n можно найти приближение x n к истинному решению x (t n ) путем применения линейных многошаговых формул:

x n +1 = x n + hx" n (прямая формула Эйлера);

x n +1 = x n + hx" n +1 (обратная формула Эйлера);

x n +1 = x n + (h /2)(x" n + x" n +1) (формула трапеций).

Нахождение x" n +1 для (n+1)-го шага вычислений возможно путем применения прямой формулы Эйлера.

Поскольку напряжение на конденсаторе и ток, протекающий через него связаны соотношением i=CdV/dt, а для индуктивности имеем V=Ldi/dt, то применение обратной формулы Эйлера равноценно переходу от емкостей и индуктивностей к их эквивалентным схемам, показанным на рисунке 8.6, в результате чего цепь становится резистивной. Такие модели индуктивности и емкости носят название сеточных (сопровождающих, дискретных) моделей .

Рисунок 8.6. Сеточные модели для обратной формулы Эйлера

Отыскание рабочей точки или расчет по постоянному току является первым шагом при нелинейном анализе УУ. Анализ характеристик по постоянному току схем, содержащих нелинейные сопротивления, сводится к решению системы нелинейных уравнений вида f(x)=0 .

Поскольку законы Кирхгофа применимы не только к линейным, но и к нелинейным элементам, для формирования системы уравнений f(x) возможно использование уже рассмотренных табличных методов. Структура получаемых табличных уравнений будет рассмотрена ниже.

Для решения системы нелинейных уравнений f(x) применяется метод Ньютона-Рафсона . Метод предусматривает использование начального приближения x 0 , проведение итерационной процедуры и, если величина |(x n +1 –x n )/x n +1 | достаточно мала, констатацию факта сходимости (n- количество итераций):

x n +1 = x n – J -1 f (x n ),

где J - якобиан (матрица Якоби) размерностью (m*m)

В процессе итерационной обработки данной системы уравнений на каждом этапе итерации могут быть получены значения f (x n ) и J ; это эквивалентно решению линейного уравнения в форме

J (x n +1) – x n ) = –f (x n ).

Другими словами, решение нелинейных уравнений можно интерпретировать как повторное решение линейных уравнений на каждом этапе итерационного процесса.

Структура якобиана внешне совпадает с табличными уравнениями линейных цепей, которые преобразованы с учетом расчета по постоянному току - убраны конденсаторы и закорочены катушки индуктивности.

Пусть табличные уравнения заданы в следующей форме:

V в – A t V п = 0;

p (V в ,i в ) = W ;

AI в = 0;

Система уравнений p (V в ,i в ) = W определяет связь между токами и напряжениями ветвей в неявной форме, некоторые из этих зависимостей могут быть линейными.

Матрица Якоби на n-й итерации будет иметь вид

где ; где .

Для формирования якобиана возможно использование различных модификаций табличного метода, в том числе и модифицированного узлового с проверкой. Результат анализа схемы по постоянному току (режим по постоянному току) может быть использован в качестве начального приближения при временном анализе нелинейных электронных схем.

Нелинейные уравнения легко включаются в уравнения цепи, составленные табличным или модифицированным узловым методом. Линейные элементы, как и прежде, линейными компонентными уравнениями. Для нелинейных уравнений характерны уравнения в неявной форме, хотя иногда нелинейности можно описать и в явной форме. Нелинейные емкости и индуктивности лучше всего описывать с помощью дополнительных переменных - электрических зарядов и магнитных потоков соответственно, которые должны быть введены в вектор неизвестных. Если это проделать, то уравнения, записанные как табличным, так и модифицированным узловым методами можно представить в следующем виде:

f (x" , x , W , t ) ≣ Ex" + Gx +p (x ) = 0,

где E и G - постоянные матрицы, а все нелинейности сведены в вектор p(x) .

Полученная система дифференциальных уравнений решается путем интегрирования с использованием формулы дифференцирования назад и алгоритма Ньютона-Рафсона, для чего формируется якобиан. В целом структура якобиана для линейной и нелинейной цепи идентична, отличие между ними в том, что нелинейная емкость (индуктивность) будет представлена двумя уравнениями, а заряд q (поток f) станет еще одним неизвестным. Однако и для линейных емкостей и индуктивностей можно ввести заряды и магнитные потоки в качестве переменных, что приведет к совпадению якобиана и матрицы системы уравнений. Любая нелинейная проводимость появится в якобиане аналогично линейной проводимости в матрице C модифицированного узлового метода. Таким образом становится возможным единый подход к формированию и решению уравнений линейных и нелинейных цепей с целью получения их временных и частотных характеристик, что и успешно реализуется в современных пакетах схемотехнического проектирования.

Более подробно перечисленные методы, а также другие вопросы анализа электронных цепей приведены в . В описан один из пакетов схемотехнического проектирования Electronics Workbench.

УДК 330.131.7

Котов В.И.

инвестиционного проекта к рискам

Для количественной оценки устойчивости инвестиционного проекта к воздействию рисковых событий можно использовать функции чувствительности . Однако в экономической литературе нередко пишут (например, в ) что существенным недостатком этого метода «является его однофакторность, т. е. ориентированность на изменения только одного фактора проекта, что приводит к недоучету возможной связи между отдельными факторами или недоучету их корреляции». Как будет показано далее, данный недостаток вполне преодолим, если при выборе совокупности риск-параметров (факторов) выделить те из них, для которых взаимозависимость существенна, и учесть ее. Большинство же факторов являются практически независимыми и непосредственный расчет чувствительности по ним вполне обоснован.

Еще одно замечание по поводу использования термина «чувствительность». Для выбранной целевой функции путем поочередного изменения риск-параметров обычно определяют их предельно допустимые значения. Приведенный алгоритм такого расчета реализован в программном пакете Project Expert 6 и некоторые авторы почему-то называют его анализом чувствительности проекта. В дается следующее определение: «Анализ чувствительности. Метод, показывающий как изменяется один фактор в зависимости от другого...». Строго говоря, это не анализ чувствительности, а просто анализ зависимости функции Y от нескольких переменных, образующих вектор х. Заметим, что под чувствительностью в теории систем понимают соответствующие дифференциальные показатели , а именно: абсолютная чувствительность некоторой целевой функции Y(t,x) определяется как ее частная производная по риск-параметру x(i, t):

Возможности метода анализа рисков на основе функций чувствительности, на наш взгляд,

недооценены. В данной статье будет представлена компьютерная модель для расчета функций чувствительности, рассмотрены виды и свойства этих функций. Показано, что подход к чувствительности как динамической характеристике в пределах всего горизонта планирования дает важную информацию о влиянии рисковых событий на финансовые показатели инвестиционных проектов.

Определение и модель расчета функций чувствительности

Вначале дадим определение функции чувствительности. Обозначим целевую функцию проекта через У(г, х), где г - время, х(г) - вектор варьируемых параметров, которые моделируют влияние тех или иных рисковых событий. Относительная чувствительность целевой функции есть отношение относительного отклонения функции к относительному отклонению аргумента (риск-параметра):

^ _ дУ / У _ АУ / У _ А7

Х дх; / X; Аx¡ / X; У АХ;

Здесь и далее время для простоты опущено. В силу того, что относительные чувствительности безразмерны, они более удобны для анализа, поэтому в дальнейшем будем использовать только их, а прилагательное «относительные» для краткости будем опускать. Чем больше чувствительность, тем сильнее оказывает влияние соответствующий риск-параметр на целевую функцию инвестиционного проекта. Численно функция чувствительности показывает: на сколько процентов изменится целевая функция при изменении риск-параметра на один процент.

В экономической теории имеется понятие, аналогичное чувствительности - «эластичность» (спроса и пр.), которое вычисляется по формуле подобной (2). Эластичность как показатель характеризует внешнюю среду бизнеса и обычно

Рис. 1. Блок-схема модели расчета функций чувствительности

не рассматривается как функция времени, а является статическим параметром. Мы будем придерживаться термина «чувствительность», во-первых, потому, что она характеризует внутреннюю среду бизнеса и является характеристикой инвестиционного проекта, а во-вторых, чтобы не путать известный контекст использования термина «эластичность» с динамической характеристикой чувствительности при анализе влияния рисков.

Приведем блок-схему модели расчета функций чувствительностей, в основе которой лежит динамическая модель финансовых потоков проекта (рис. 1). Данная модель была реализована в среде электронных таблиц EXCEL и позволяла одновременно проводить расчеты для пяти вариантов целевых функций, о которых речь пойдет далее.

Здесь основная модель Cash-Flow служит для расчета выбранного сценария инвестиционного проекта, т. е. для получения всех необходимых показателей и значения выбранной целевой функции (одной или нескольких) в ситуации Status Quo. Копия модели служит для расчета измененного значения целевых функций под действием какого-либо риск-параметра.

Из основной модели в копию автоматически (с помощью соответствующих ссылок) передаются все константы. В копии предусмотрено поочередное изменение риск-параметров и выбор длительности воздействия каждого риска. Теперь если в копии изменить какой-либо риск-параметр, то на ее выходе получим измененное значение целевой функции. В блок расчета функций чувствительности из основной модели

поступают исходные значения риск-параметра и целевой функции, а из копии - соответствующие измененные значения. В итоге на основе (2) получаем функции чувствительности в виде таблиц и соответствующих графиков для всего горизонта планирования.

Целевые функции проекта

Выбор целевой функции во многом зависит от вкусов и желаний разработчиков бизнес-плана инвестиционного проекта. В качестве целевой функции можно предложить различные показатели, например:

NPV(T) - чистая текущая стоимость проекта к моменту Т;

Накопленный чистый дисконтированный финансовый поток (Accumulated Discount Net Cash-Flow) ADNCF(T), генерируемый проектом к моменту Т;

Накопленный чистый финансовый поток (Accumulated Net Cash-Flow) ANCF(T), генерируемый проектом к моменту Т (без учета дисконтирования);

Накопленная чистая прибыль (Accumulated Net Profit) ANP(T), генерируемая проектом к моменту Т;

Накопленное сальдо финансовых потоков (состояние расчетного счета проекта) (Accumulated Saldo Cash-Flow) ASCF(T) к моменту Т.

При выборе целевой функции можно использовать не накопленные показатели, а показатели финансовых результатов в отдельных периодах. Однако мы отдаем предпочтение накопленным

показателям, так как это позволяет более строго учесть последствия рисковых событий после окончания их действия в течение всего горизонта планирования.

Сравнение чувствительностей накопленного чистого денежного потока и его дисконтированного аналога показало, что они почти совпадают, так как различия составляли лишь доли процента. Это не удивительно, поскольку при расчете функции чувствительности по (2) дисконтированию подвергаются как числитель (АУ), так и знаменатель (У), что частично приводит к компенсации процедуры дисконтирования.

Если МРУ(Т) используется в качестве целевой функции, то следует иметь в виду, что вблизи точки окупаемости, когда МРУ = 0, функция чувствительности терпит разрыв второго рода, т. е. обращается в бесконечность по определению (2). Это затрудняет использование МРУ в качестве целевой функции вблизи указанной точки, однако вне ее расчетных проблем не возникает.

Если в качестве целевой функции выбрать накопленное сальдо финансовых потоков, то получим

У (х, Т) _ £ [ (х, г) - С^ (х, г)]. (3)

Знание функций чувствительности этой целевой функции будет весьма полезным для оперативного управления состоянием расчетного счета проекта в условиях влияния рисков.

Локальная и глобальная функции чувствительности

При расчете функций чувствительности следует различать краткосрочное и долгосрочное воздействие рисковых событий. Соответственно определим два вида функций чувствительности.

Локальная чувствительность - чувствительность при локальном (краткосрочном во времени) влиянии риск-параметра, т. е. когда отклонение имеет место только в течение одного или нескольких периодов существенно меньших общего горизонта планирования, как показано на рис. 2, а.

Глобальная чувствительность - чувствительность при глобальном (длительном во времени) влиянии риск-параметра, т. е. когда отклонение может иметь место по всему горизонту

планирования, начиная с некоторого момента (рис. 2, б).

Какой из приведенных вариантов чувствительности следует выбрать, зависит от того, как долго будут действовать те или иные рисковые события в реальной ситуации.

Здесь уместна аналогия с анализом реакции линейных систем на основе импульсных и переходных характеристик последних . Если в качестве единичного воздействия в момент т используется дельта-функция Дирака 8(г - т), то реакция системы при нулевых начальных условиях будет численно равна импульсной характеристике системы g(t - т). Если в качестве единичного воздействия в некоторый момент времени используется функция Хэвисайда (единичный скачок) 1(г - т), то реакция системы при нулевых начальных условиях будет численно равна переходной характеристике системы Н(г - т).

В нашем случае роль дельта-функции может играть локальный во времени скачок риск-параметра ЫХ(г - т), тогда реакция инвестиционного проекта будет пропорциональна локальной чувствительность LS(t - т) на заданное воздействие. Функции Хэвисайда 1(г - т) будет соответствовать глобальное во времени изменение риск-параметра ОйХ(г - т), что даст реакцию пропорциональную глобальной функции чувствительности 08(г - т). На рис. 3 приведены соответствующие функциональные аналогии.

Как известно , для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, а именно: реакция системы на совокупность воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. На основе этого принципа, зная характеристики системы g(t) или Н(г), можно найти и связь между ними, и реакцию системы на воздействие любого вида. В нашем случае из принципа суперпозиции можно получить связь между глобальными и соответствующими локальными функциями чувствительности. Пусть время меняется дискретно:

г = 0, 1, 2, ... п, ... М,

где г = М - горизонт планирования; г = к - момент начала воздействия глобального риска; г = к + ], (] = 0, 1, ... п - к) - моменты существования локальных рисков; г = п > к + ] - произвольный (текущий) момент наблюдения реакции системы на заданное воздействие.

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

т Ш и И "Ч---*----- п п п........

6 7 8 Период

10 11 12 13 14 15

\ " ^ -1>--О--0 0 0 0 0-- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Рис. 2. Отклонение значений целевой функции а - при локальном и б - при глобальном воздействии

1 - -О; 2 - х + ах; 3 - У; 4 - У + аУ

Линейная система

Финансовая модель

А ЬБ(г - т) (локальная чувствительность)

Линейная система

Финансовая модель

GdX(г - т) ИП

А GS{г - т) (глобальная чувствительность)

Рис. 3. Аналогии с линейными системами: а - локальная, б - глобальная

Тогда глобальную чувствительность, описывающую реакцию системы на воздействие глобального рискового события, начавшегося в момент г = к и длящегося вплоть до горизонта планирования, можно выразить как суперпозицию локальных чувствительностей, соответствующих совокупности воздействий локальных (длительностью в один период) рисков, появляющихся в моменты от г = к и до г = к + / (/ = 0, 1, ... п - к):

ОБ7^ (п - к) _ (п - к - /), п > к + /. (4)

Следует заметить, что локальные функции чувствительности всегда быстрее убывают, чем одноименные глобальные функции, для всех периодов времени. Это объясняется тем, что локальное действие какого-либо риска длится короткое время, а глобальный риск (равный сумме локальных рисков) действует все время с момента его возникновения и эффект от него накапливается от периода к периоду. Можно говорить, что функции глобальной чувствительности отражают стратегические последствия влияния длительных отклонений параметров на инвестиционный проект. В то же время локальные чувствительности отражают тактические последствия краткосрочных изменений во внешней и внутренней среде бизнеса. Локальные функции чувствительности чаще всего имеют максимум в момент возникновения воздействия того или иного риска и далее относительно быстро убывают по сравнению с глобальной чувствительностью по тому же риск-параметру.

При использовании аналитического аппарата анализа линейных систем следует иметь в виду, что финансовая модель инвестиционного проекта может не быть строго линейной, однако, как показали эксперименты на множестве различных инвестиционных проектов, даже в широких пределах вариаций риск-параметров точность анализа чувствительностей оставалась вполне приемлемой. В и предлагается помимо чувст-вительностей первого порядка (2) использовать чувствительности второго порядка в случаях, когда нелинейность целевой функции по каким-либо риск-параметрам существенна и ею пренебречь нельзя.

Свойства функций чувствительности

Если в качестве риск-параметров выбираются цены продаж производимых товаров в ходе реализации инвестиционного проекта, то в каждом периоде планирования целевая функция (например, накопленный чистый финансовый поток в случае двух товаров) будет иметь вид

У _ а(+ р^) + Ь,

где р12 - цены; 612 - натуральные объемы продаж. Если в качестве риск параметров выбрать выручку от каждого товара р1б1, то с помощью (2) получаем функции чувствительности для рассматриваемого периода:

Нетрудно видеть, что отношение этих функций чувствительности будет равно отношению объемов продаж в денежном выражении соответствующих товаров в данном периоде. Следовательно, структура функций чувствительности по объемам продаж будет в точности соответствовать самой структуре объемов продаж в денежном выражении:

Это вывод справедлив для любого количества товаров, входящих в ассортимент. Если отдельные группы товаров, имеющиеся в ассортименте, имеют различные ставки НДС, то сделанный выше вывод будет справедлив, если в расчетах чувствительности и в расчетах структуры объемов продаж будут использованы цены без НДС. Указанное свойство (7) функций чувствительности позволяет существенно уменьшить объем вычислений последних в случае широкого ассортимента товаров, когда необходимо знать чувствительности по всем товарам.

Рассмотрим знак функции чувствительности. Функция чувствительности будет положительной для всех моментов времени, если с увеличением (уменьшением) отклонения риск-параметра значение целевой функции увеличивается (уменьшается) при условии положительности самой целевой функции. Так, например, чувствительности

Рис. 4. Функции чувствительности сальдо финансовых потоков проекта 1,2, 3 - объемы продаж соответственно; 4 - условно-постоянные и 5 - условно-переменные затраты

накопленного сальдо финансовых потоков к ценам и натуральным объемам продаж произведенных товаров всегда положительны, а чувствительности той же целевой функции к отклонениям любых издержек, а также к банковским ставкам по кредитам всегда отрицательны. Исключением из этого правила будут периоды, когда вместо чистой прибыли имеются убытки. На рис. 4 показаны примеры функций чувствительности.

Как видим, наиболее «опасным» является восьмой период проекта, так как в этом периоде все функции чувствительности будут максимальны. В такие периоды внимание менеджеров к ходу реализации проекта должно быть наибольшим, чтобы удерживать показатели эффективности близкими к запланированным.

Если в качестве целевой функции выбрана МРУ, то ее чувствительность к ценам или натуральным объемам продаж произведенных товаров в «мертвой зоне» (при МРУ < 0) будет отрицательной, а после срока окупаемости - положительной. Знаки чувствительности МРУ к издержкам будут обратными.

Особенности функций чувствительности к колебаниям цен и натуральных объемов продаж

При определении функций чувствительности мы до сих пор полагали, что все риск-параметры являются независимыми. Данное

предположение для большинства параметров вполне оправданно, однако в ряде случаев взаимной зависимостью пренебречь нельзя. Например, если среди множества риск-параметров есть цены р и натуральные объемы продаж Q товаров, произведенных в рамках инвестиционного проекта, то при расчете таких функций чувствительности, как накопленное сальдо финансовых потоков, накопленный чистый финансовый поток (с дисконтированием или без такового) или МРУ, необходимо учесть зависимость 2(р). Если указанную зависимость оценить затруднительно, то при анализе чувствительно-стей в качестве риск-параметров можно выбрать натуральные объемы продаж (0 или выручку от каждой товарной группы (pQ). Для этих риск-параметров указанные целевые функции являются линейными.

Таким образом, функции чувствительности как динамические характеристики инвестиционного проекта совместно с показателями эффективности дают более полную картину для сравнения проектов или сценариев между собой. По рассчитанным функциям чувствительности можно определить те периоды «жизни» инвестиционного проекта, когда влияние риск-параметров наибольшее, т. е. наиболее «опасные» стадии реализации проекта. Как показали многочисленные расчеты, экстремальные значения всех функций чувствительности для выбранного проекта практически совпадают по времени.

Кроме того, сравнивая между собой функции чувствительности по отдельным риск-параметрам, можно ранжировать риски и выявить среди них наиболее существенные, на которых следует сосредоточить основное внимание менеджеров про-

екта. Если построена модель финансового прогноза с блоком анализа чувствительности, то можно провести имитационное моделирование влияния совокупности риск-параметров на выбранную целевую функцию инвестиционного проекта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Котов В.И. Анализ рисков инвестиционных проектов на основе чувствительности и теории нечетких множеств. СПб.: Судостроение, 2007. 128 с.

2. Котов В.И., Ловцюс В.В. Разработка бизнес-плана: Учеб. пособие. СПб.: Линк, 2008. 136 с.

3. Риск-анализ инвестиционного проекта: Учебник для вузов / Под ред. М.В. Грачевой. М.: Юнити-Дана, 2001. 351 с.

4. Бизнес-анализ с помощью Microsoft Excel: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2005. 464 с.

5. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / Под ред. Е.Н. Розенвассера и Р.М. Юсупова. Л.: Энергия. 1971. 344 с.

6. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М.: Сов. радио, 1972.

7. Kuruc A. Financial Geometry // A geometric approach to hedging and risk management. Pearson Education Limited, 2003. 381 p.

8. System sensitivity and adaptivity. Preprints Second IFAC Symposium, Dubrovnih, Ygaslavia, 1968.

9. Tomavic R. Sensitivity analysis of dynamic systems. Belgrade, 1963.

10. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. (Метод пространства состояний): Пер. с англ. / Под ред. Г.С. Поспелова. М.: Наука, 1970. 704 с.

С.В. Шмидт, студент, Д.Ю. Белова, студент
Научный руководитель: Б.З. Калиев, к. т. н., профессор
Инновационный Евразийский университет
г. Павлодар, Казахстан

Настоящая работа выполнялась в соответствии с научной программой повышения эффективности использования ресурсов Казахстана путем разработки математической модели и алгоритмов оптимального управления электроэнергетических систем, определенная как стратегическая задача РК в Послании Президента страны народу Казахстана «Казахстан 2030». Эта же программа входит в основу разработки глобальной энергоэкологической долгосрочной стратегии, подготавливаемый на базе исследований ученых России и Казахстана отмеченной в фундаментальном труде Нурсултана Абишевича Назарбаева «Стратегия радикального обновления глобального сообщества и партнерство цивилизации». Целью данной научной статьи является повышение эффективности управления качеством вырабатываемой электроэнергии путем совершенствования математической модели стационарных режимов. Анализ схем замещения дает возможность выявить закономерности, применение которых позволит повысить качественные показатели электроэнергии, эффективность эксплуатации и проектирования самой системы на основе совершенствования математической модели ее стационарных режимов.
Оптимизация состояния электрической системы является тонкой и трудоемкой задачей, решаемой на основе анализа и синтеза т е. рабочих режимов. В промышленных условиях из-за ряда причин (изменение температуры, износ оборудования, снижение активности катализатора, снижение теплопроводности и т.п.) параметры системы управления постепенно изменяются, и их действительные значения всегда отличаются от расчётных. Проблема управления качеством электроэнергии с учетом влияния имеющихся регулирующих устройств в настоящее время решается на основе многократных расчетов, методом последовательного приближения. В рыночных условиях трудно согласиться с подобным подходом к расчету и оптимизации системы электроснабжения.
В данной работе получено решение выше отмеченных проблем путем совершенствования математических моделей с применением функций чувствительности таким образом, чтобы искомые параметры режима определялись непосредственно по независимым параметрам схемы замещения системы передачи и распределения электроэнергии.
Практическая ценность заключается в том, что применение функций чувствительности позволяет изменить методологию ведения режима, смысл которого заключается в обеспечении, в первую очередь, потребителей качественной электроэнергией с учетом надежных и экономических показателей питающих сетей системы электроснабжения, уменьшение неоправданных трудозатрат.
Функция чувствительности является одним из наиболее важных показателей качества частотно-избирательных цепей. Информация о чувствительности используется в различных целях:
1. Функция чувствительности является критерием для сравнительной оценки различных конфигураций электронных цепей.
2. Результаты анализа чувствительности используются для определения допусков на параметры элементов цепи.
3. Функция абсолютной чувствительности используются при оптимизации характеристик электронных цепей для расчета градиента целевой функции. 4. Чувствительность позволяет понять, как влияют вариации какого-либо параметра на характеристики цепи.
При проектировании систем управления и регулирования важно знать, как влияет на характеристики цепи изменение параметров элементов. Это влияние оценивают с помощью функций чувствительности. Функция относительной чувствительности H(jw) к вариациям аi, определяется по формуле:
Пусть [Y] н [V] являются функциями параметра а i , а вектор правой части не зависит от этого параметра. Дифференцируя (1.2) по а i , получим:
Формула (1.3) позволяет определить чувствительность всех элементов вектора [V] к вариациям параметра а i .
Но на практике обычно требуется определить чувствительность какой-либо одной функции цепи, т.е. необходимо найти чувствительность одной переменной V i к вариациям нескольких параметров а i . Чтобы найти чувствительность V i , умножим левую и правую части равенства (1.3) на единичный вектор :
При рассмотрении функций чувствительности во временной области независимые источники могут иметь произвольную форму тока и напряжения. Выбор времени анализа может быть произвольным, в том числе с самого начала переходных процессов, наступающих в цепи при включении источников. Следовательно, частные производные по параметрам элементов будут определяться от величин (токов и напряжений), представленных в виде функций времени. Пусть откликом на выходе цепи является напряжение u вых (t). Будем искать частные производные вида:
Ток через тот же реактивный элемент в присоединенной схеме (рис. 1 б)
Результат, полученный методом присоединенной схемы, можно подтвердить непосредственным дифференцированием реакции цепи:
Заменим элемент dC эквивалентным ему источником тока dic (рис. 2 б).
На выходе цепи можно будет наблюдать отклик на воздействие источника возмущения di c . Если поделить величину воздействия на константу dC, то отклик изменится на ту же величину. Таким образом отклик на выходе цепи будет численно равен производной duвых/dC (рис 2. б).
Вывод:
Действительные значения параметров управления электроэнергетическими системами практически всегда отличаются от расчетных. Данные изменения параметров могут привести к изменению статических и динамических свойств системы. Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессе проектирования и настройки системы, что может быть осуществимо применением функций чувствительности, непосредственно метода присоединенных схем.
В данной работе выявлен способ оптимизации состояния электрической системы путем совершенствования математических моделей с применением функций чувствительности таким образом, чтобы искомые параметры режима определялись непосредственно по независимым параметрам схемы замещения системы передачи и распределения электроэнергии, что имеет важное перспективное теоретическое и практическое значение. При решении задачи оптимизации, электрических сетей энергосистемы с учетом вероятностного характера исходных данных, возникает необходимость выделения наиболее значимых факторов. При подходе к предельным по пропускным способностям режимам наибольшее влияние на точность расчета оказывает точность задания параметров схемы замещения.
Настоящая статья имеет большое значение для схемотехнического проектирования электрических схем и их оптимизации, для определения степени влияния параметров компонентов схемы на её выходные параметры, а также для прогнозирования разброса выходных параметров.
Список литературы:
1. Ахметбаев Д.С. Моделирование стационарных режимов системы передачи и распределения электроэнергии. – Алматы. 2010. – С. 28-30.
2. Калиев Б.З. Материалы международной научно-практической конференции «Индустриально-инновационное развитие на современном этапе: состояние и перспективы». - Павлодар. 2009. - С. 18-20.

Библиографическая ссылка на статью:
С.В. Шмидт, Д.Ю. Белова, Б.З. Калиев Применение функций чувствительности к энергетическим задачам // Онлайн Электрик: Электроэнергетика. Новые технологии, 2012..php?id=30 (Дата обращения: 20.12.2019)

Чувствительность систем автоматического управления - это степень влияния разброса параметров и их изменений в процессе работы на статические и динамические свойства системы управления, то есть на точность, показатели качества, на частотные свойства и др.

Параметры системы управления (коэффициенты передачи и постоянные времени) определяются физическими параметрами составляющих ее элементов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивностей и т.п.). Величины физических параметров элементов, во-первых, имеют технологический разброс, обусловленный допусками на изготовление элементов, во-вторых, подвержены эксплуатационным изменениям с течением времени, что обусловлено их старением.

Поэтому встает задача оценки работы системы при изменении и разбросе параметров составляющих ее элементов.

Эта задача решается путем количественной оценки чувствительности системы. Для этого требуется описать систему управления уравнениями в нормальной форме , т.е.

При i=1, 2, ... , n, (7.13)

где n - порядок системы;

x i - координаты состояния системы;

f i - внешние воздействия, прикладываемое к системе;

a ik - коэффициенты уравнения, определяемые величинами физических параметров составляющих систему элементов.

Изменяющиеся со временем параметры элементов системы в процессе эксплуатации и от разброса при изготовлении обозначим через a j (j=1, 2, ... , m).

Тогда уравнение системы (7.13) можно записать в виде

При i=1, 2, ... , n. (7.14)

Решение уравнений (7.14) определяет координаты системы: x 1 (t), x 2 (t), ... , x n (t), образующие исходное движение системы.

Пусть параметры a j изменяются на малые величины Da j , тогда имеем

. . . . . . . . . .

Рассматривая малые изменения параметров a j (j=1, 2, ... , m), получим новые уравнения

при i=1, 2, ... , n.

Процесс в той же системе, но с измененными параметрами, определяемый решением уравнений (7.15), т.е. , называется варьированным движением.

Возникшее различие в протекании процессов в системе за счет изменения параметров

При i=1, 2, ... , n

называется дополнительным движением.

При малых отклонениях Da j эта разность может быть определена следующим образом:

При i=1, 2, ... , n. (7.16)

Обозначим

(j=1, 2, ... , m). (7.17)

Тогда дополнительное движение будет

При i=1, 2, ... , n. (7.18)

Величины , определяемые выражением (7.17), представляют собой функции чувствительности i-ой координаты системы по j-ому параметру.

Таким образом, чтобы оценить степень влияния разброса и изменения параметров на координаты системы необходимо определить функции чувствительности по каждой координате от каждого изменяющегося параметра.

В рассматриваемом случае x i (t) являются координатами состояния системы. Вообще же аналогичные характеристики чувствительности вводятся так же для различных показателей качества системы. Тогда в формуле (7.17) вместо x i будет стоять соответствующий показатель качества, а в формуле (7.18) - вместо Dx i - изменение этого показателя качества. Функции чувствительности для частотных характеристик будут функциями не времени, а частоты. Если показатели качества выражаются не функциями, а числами, то u ij называются коэффициентами чувствительности.

Если в качестве изменяющихся параметров a j выбрать внешние воздействия, то можно получить функции чувствительности системы по отношению к внешним воздействиям.

Определение функций чувствительности производится следующим образом.

Продифференцируем исходное уравнение (7.14) по изменяющимся параметрам a j . Тогда получим

Меняя в левой части порядок дифференцирования и учитывая (7.17), получим выражения

При i=1,...,n; j=1,...,m; (7.19)

которые называются уравнениями чувствительности. Решение этих уравнений определяет функции чувствительности .

Рассмотрим функции чувствительности для частотных характеристик. Передаточную функцию разомкнутой системы запишем в виде

W(s) = W(s, a 1 , a 2 , ... , a m), (7.20)

где a 1 , a 2 , ... , a m - параметры системы, имеющие технологический разброс или эксплуатационные изменения.

Тогда амплитудная и фазовая частотные характеристики тоже зависят от этих параметров

А(w) = А(w, a 1 , ... , a m);

y(w) = y(w, a 1 , ... , a m).

Функции чувствительности для амплитудной и фазовой частотных характеристик будут

J=1, 2, ... , m. (7.21)

В результате получим как функции частоты выражения для отклонения частотных характеристик за счет разброса и изменения параметров системы:

Определение функций чувствительности производится при проектировании систем с наименьшими изменениями качественных показателей при отклонении значений параметров системы от расчетных.

Пример. Определить функции чувствительности для системы, заданной следующим уравнением (Tp+1)x(t)=kg(t), где T, k - изменяющиеся параметры.

Решение. Уравнение системы в нормальной форме имеет вид

Введем функции чувствительности

Уравнение чувствительности получим исходя из (7.19)

Найдя отсюда u xk и u xT , вычислим изменение хода процесса управляемой величины x(t) за счет изменения параметров k и T по формуле

Передаточная функция системы: .

Частотные характеристики: , .

Найдем функции чувствительности частотных характеристик по параметру T

Отклонения частотных характеристик

DA(w) = u AT (w)DT, Dy(w) = u Y T (w)DT.

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 7

1. Перечислите общие методы повышения точности систем управления. Поясните их.

2. Дайте понятие астатических системы управления. Каким образом определяется степень астатизма?

3. В чем преимущество повышения степени астатизма системы с помощью изодромных устройств?

4. Какая система является инвариантной по отношению к внешним воздействиям?

5. Что понимается под комбинированным управлением?

6. Как определяются передаточные функции компенсирующих устройств в комбинированных системах?

7. Для каких целей используются неединичные главные обратные связи?

8. Сформулируйте понятие чувствительности систем управления.

9. Каким образом можно получить уравнения чувствительности?

10.Что представляют собой функции чувствительности и коэффициенты чувствительности?